Эффективность в общем виде – это результативность чего-либо (производства, труда, управления и т.д.). В экономической теории различают в основном два вида эффективности – экономическую и социальную. Экономическая эффективность характеризует отношение полученного результата к затратам, социальная – степень удовлетворения спроса населения (потребителей, заказчиков) на товары и услуги. Часто их объединяют единым термином – социально-экономическая эффективность, который в наибольшей степени относится к оценке управленческих решений, так как последние направлены на состояние и поведение людей и таким образом имеют высокое социальное значение и их оценка только с позиций экономического эффекта не совсем корректна. В последние десятилетия растет необходимость оценки по многим управленческим решениям экологической эффективности, отражающей как положительное, так и отрицательное влияние их реализации на экологическую обстановку. Здесь, как правило, отражаются возможные затраты организации на устранение отрицательного воздействия на окружающую среду, штрафы и другие связанные с этим платежи или их экономия при положительном воздействии на окружающую среду.

Качество – с позиций философии – выражает совокупность существенных признаков, особенностей и свойств, которые отличают один предмет или явление от других и придают ему определенность. Качество результата труда (продукции, услуги, инвестиционного проекта, управленческого решения и т.д.) связано с понятиями "свойство" и "полезность". Свойство результата труда определяет объективные стороны без оценивания его важности для потребителя (например, технический уровень продукции, проекта); полезность – способность данного результата труда приносить пользу и удовлетворять требованиям конкретного потребителя. Отсюда, качество управленческого решения – совокупность свойств, обусловливающих его способность удовлетворять определенные потребности в соответствии с назначением. В практике деятельности организаций эффективность и качество неразрывны и взаимно обусловливают друг друга. Решение не может быть высокоэффективным, если оно имеет низкое качество и, наоборот, оно не может быть качественным, если неэффективно, т.е. эффективность – одна из характеристик качества, а качество – существенный фактор эффективности.

Эффективность и качество управленческого решения определяются всей совокупностью процессов управления, составляющих его относительно самостоятельные и взаимосвязанные в технологическом цикле этапы: разработка, принятие и реализация решений. В соответствии с этим необходимо рассматривать модификации управленческого решения – эффективности и качества теоретически найденного, принятого ЛПР и практически реализованного решения.

На этапах разработки и принятия управленческого решения его качество – это степень соответствия параметров выбранной альтернативы решения определенной системе характеристик, удовлетворяющая его разработчиков и потребителей и обеспечивающая возможность эффективной реализации. На этапе реализации качество управленческого решения выражается в его фактической эффективности, эффективности реализации.

К числу основных характеристик, определяющих качество решений, относятся: обоснованность, своевременность, непротиворечивость (согласованность), реальность, полнота содержания, полномочность (властность), эффективность.

Обоснованность решения определяется: степенью учета закономерностей функционирования и развития объекта управления, тенденциями развития экономики и общества в целом, компетентностью его разрабатывающих специалистов и ЛПР. Оно должно охватывать весь спектр вопросов, всю полноту потребностей управляемого объекта. Для этого необходимо знание особенностей, путей развития управляемой системы и внешней среды. Требуется тщательный анализ ресурсного обеспечения, научно-технических возможностей, целевых функций развития, экономических и социальных перспектив компании, региона, отрасли, национальной и мировой экономики. Всесторонняя обоснованность решений требует поиска новых форм и путей обработки научно-технической и социально-экономической информации, форм и методов менеджмента, теории и практики разработки и принятия решений, т.е. формирования передового профессионального мышления, развития его аналитико-синтетических функций. Обоснованным может быть лишь то решение, которое принято на основе достоверной, систематизированной и научно обработанной информации, что достигается использованием научных методов разработки и оптимизации решений.

Таким образом, обоснованность решения обеспечивается следующими основными факторами:

• учетом требований объективных экономических законов и закономерностей, действующего законодательства и уставных документов;
• знанием и использованием закономерностей и тенденций развития объекта управления и его внешней среды;
• наличием полной, достоверной, своевременной информации;
• наличием специальных знаний, образования и квалификации разработчиков и ЛПР;
• знанием и применением ЛПР основных рекомендаций менеджмента и теории принятия решений;
• используемыми методами анализа и синтеза ситуаций.

Нарастающая сложность и комплексность решаемых проблем и их последствий требует универсальных познаний для разработки и принятия обоснованных управленческих решений, что обусловливает все более широкое распространение коллегиальных форм принятия решений.

Обоснованность управленческих решений может достигаться выполнением следующих действий:

• определение условий для формирования допустимых вариантов;
• составление перечня показателей, характеризующих существенные свойства найденных вариантов решения, и разработка шкал для их измерения;
• отсев нерациональных вариантов и определение диапазона возможных значений каждого показателя с использованием разнообразных математических и эвристических методов;
• выявление структуры предпочтений ЛПР;
• формирование критерия или правил оценки вариантов решения;
• выбор наилучшего варианта управленческого решения или уточнение структуры предпочтений ЛПР.

Реализация этих действий не всегда гарантирует высокое качество и эффективность решений, так как выбор альтернатив существенно затрудняется следующими факторами.

• 1. Многоаспектный характер оценок эффективности альтернатив. При определении возможных вариантов решения и тем более при выборе из них наиболее целесообразного приходится производить экономическую, технико-технологическую, социальную, политическую, экологическую оценки. При этом каждая имеет несколько подходов. Например, стоимостная оценка, согласно международным, европейским и российским стандартам, использует затратный, рыночный (сравнительный) и доходный подходы, в которых используются различные методы в зависимости от объекта и задач оценки. При выборе вариантов развития открытого акционерного общества необходимо учитывать всю совокупность стейкхолдеров, так как принимаемые решения могут существенно влиять на различные группы людей, что увеличивает количество возможных оценок (как по отношению к ним, так и с их стороны). Во многих случаях необходимо учитывать изменения оценок во времени. При этом все чаще возникают проблемы учета новых типов оценок, которые характеризуют последствия принимаемого решения в разные моменты будущего.
• 2. Трудности выявления и сопоставления всех аспектов сравнения альтернатив. Существование разнородных аспектов оценки альтернатив ставит перед разработчиками и ЛПР трудные проблемы их сопоставления. Здесь следует иметь в виду, что такое сопоставление субъективно и поэтому может быть подвергнуто критике. Это усугубляется во много раз при коллегиальном принятии решений, где у каждого из членов принимающего решения коллективного органа могут быть разные меры сопоставления разнородных качеств. Одни участники разработки и принятия решений могут быть заинтересованы в основном в экономических критериях, другие – в политических, третьи – в экологических и т.д.
• 3. Субъективный характер оценок эффективности и качества альтернатив. Многие оценки эффективности и качества альтернатив можно получить либо путем построения специальных моделей, либо путем сбора и обработки экспертных заключений. Оба способа связаны с использованием субъективных оценок либо специалистов разрабатывающих модели, либо экспертов. При выборе альтернатив необходимо учитывать, что надежность подобных субъективных оценок не может быть абсолютной. Даже при полном единодушии экспертов возможна ситуация, когда их оценки окажутся неправильными. Возможно также существование различных моделей либо несовпадение оценок экспертов. Следовательно, несколько альтернатив могут иметь разные оценки, и результат выбора зависит от того, какие из них будут использованы ЛПР.

Своевременность управленческого решения означает, что принятое решение не должно ни отставать, ни опережать потребности в нем развития ситуации. Даже самое оптимальное (из целесообразных для ЛПР) решение, рассчитанное на получение наибольшей социально-экономической эффективности, может оказаться бесполезным, если будет принято поздно. Оно даже может принести определенный ущерб. Преждевременные решения не менее вредны для организации, чем запоздалые. Они не имеют условий, необходимых для реализации и развития, и могут дать импульсы для развития негативных тенденций, не способствуют решению уже "перезревших" задач и еще более усугубляют и без того болезненные процессы.

Непротиворечивость (согласованность ). Различают внутреннюю и внешнюю непротиворечивость решения. Под внутренней непротиворечивостью решений понимается соответствие целей и средств их достижения сложности решаемой проблемы и методов разработки решения, отдельных положений решения друг другу и смыслу решения в целом. Под внешней непротиворечивостью решений – их преемственность, соответствие стратегии, целям компании и ранее принятым решениям (действия, необходимые для реализации одного решения, не должны мешать выполнению других). Достижение сочетания этих двух условий и обеспечивает согласованность и непротиворечивость управленческого решения. Согласованность с принятыми ранее решениями означают также необходимость соблюдения четкой причинно-следственной связи общественного развития. Принятые ранее решения при необходимости должны отменяться или корректироваться, если они вступают в противоречия с новыми условиями деятельности управляемой системы. Появление противоречащих друг другу решений – следствие плохого познания и понимания законов общественного развития, проявления низкого уровня управленческой культуры.

Реальность. Решение должно разрабатываться и приниматься с учетом объективных возможностей организации, ее потенциала. Другими словами, материальные, финансовые, информационные и другие ресурсы, возможности организации должны быть достаточны для эффективной реализации выбранной альтернативы.

Полнота содержания решений означает, что решение должно охватывать всю совокупность параметров управляемого объекта, необходимых для обеспечения достижения целей, все сферы его деятельности, все направления развития. Содержание управленческого решения должно отражать:

• цель (совокупность целей) функционирования и развития управляемого объекта, на который направлено решение;
• ресурсы, используемые для достижения этих целей;
• основные пути и способы достижения целей, основные методы выполнения работ, определяющих реализацию целей решения;
• сроки достижения целей, начало и окончание их обеспечивающих работ;
• порядок взаимодействия между подразделениями и отдельными работниками.

Итак, управленческое решение может считаться качественным, если оно отвечает всем перечисленным выше требованиям. Причем речь идет именно о системе требований, поскольку несоблюдение хотя бы одного из них приводит к снижению качества решения и, следовательно, к потере эффективности, трудностям или даже невозможности его реализации.

Качество и эффективность управленческого решения определяются множеством факторов, действующих в течение всего технологического цикла управления или на отдельных его стадиях, имеющих внутрисистемный или внешний (влияние окружающей среды), объективный или субъективный характер. К наиболее существенным факторам относятся:

• законы объективного мира, связанные с принятием и реализацией управленческого решения;
• формулировка цели; для чего принимается управленческое решение, какие реальные результаты могут быть достигнуты, как измерить, соотнести поставленную цель и достигнутые результаты;
• объем и ценность располагаемой информации – для успешного принятия управленческого решения главным является не столько объем информации, сколько ее ценность, определяемая уровнем профессионализма, опыта, интуицией кадров;
• время разработки управленческого решения – как правило, управленческое решение всегда принимается в условиях дефицита времени и чрезвычайных обстоятельств (дефицита ресурсов, активности конкурентов, рыночной конъюнктуры, непоследовательного поведения политиков);
• организационная структура управления, определенная организационными документами (формальная) и фактически существующая (неформальная). Фактически существующая (действующая) структура управления практически в исключительных случаях совпадает с определяемой соответствующими организационными документами, в рамках которой требуется действовать всем работникам организации. Необходимость учета этого требования нередко является условием принятия не самого оптимального варианта решения;
• формы и методы управленческой деятельности, в том числе разработки и реализации управленческого решения;
• состояние управляющей и управляемой систем (психологический климат, авторитет руководителя, профессионально-квалификационный состав кадров и т.д.);
• система оценок уровня качества и эффективности управленческого решения;
• степень риска, связанная с последствиями реализации решения. Данный фактор требует применения различных методик оценки рисков (финансовых, экономических и т.д.); соответственно, руководитель должен обладать навыками выполнения такого анализа;
• средства оргтехники, включая ИВС. Применение современных информационных систем – мощный фактор активизации процесса разработки, принятия и реализации решений. Оно требует определенных знаний и навыков использования современных информационных технологий в управлении деятельностью организаций;
• субъективность оценки варианта выбора решения. Процесс принятия решения, выбор конкретного варианта имеет творческий характер и зависит от конкретной личности, ее состояния в момент принятия решения. Личностные оценки ЛПР выступают в качестве компаса, указывающего ему желательное направление, когда приходится выбирать между альтернативами действий. Каждый человек обладает своей системой ценностей, которая определяет его действия и влияет на принимаемые решения. К личностным факторам относятся:
• – психологическое состояние ЛПР в момент принятия решения. В состоянии раздражительности, загруженности другими решениями ЛПР может принять по данной ситуации одно решение, а в хорошем настроении, будучи относительно свободным – другое,
• – мера ответственности ЛПР, определяемая как внутренним чувством ответственности за свои действия, так и регламентирующими его деятельность документами,
• – уровень знаний по данному вопросу. Чем выше уровень знаний ЛПР об объекте, на который направлено решение, и его внешней среде, тем больше вероятность принятия ими качественного и эффективного решения,
• – опыт, который как основной ресурс разработки и осуществления решений является определяющим фактором адекватного восприятия реальной оценки и эффективной реакции ЛПР на происходящее, представляет собой определенный банк апробированных и адаптируемых вариантов, в котором черпаются аналоги и прообразы разрабатываемых, принимаемых и реализуемых решений,
• – интуиция, суждение (здравый смысл) и рациональность ЛПР.

Справка. Интуиция проявляется как некоторое озарение или мгновенное понимание ситуации без использования рационального мышления. Однако подобному озарению обычно предшествует долгая и кропотливая работа сознания. Сначала посредством наблюдения информация накапливается в памяти человека, систематизируется и располагается в определенном порядке. Часто таким путем приходят к целесообразному решению проблемы. Если этого не происходит, подключаются интуиция и воображение, порождающие многочисленные идеи и ассоциации. Одна из идей может вызывать интуитивное прозрение, которое как бы выталкивает соответствующую идею из подсознания в сознание. Интуиция – это мощный инструмент принятия решений, который нуждается в постоянном развитии и должен активно использоваться в управленческой деятельности.

При принятии решения ЛПР часто основывается на собственном ощущении того, что его выбор правилен. Интуиция развивается по мере приобретения опыта. В основе решений, основанных на суждении, лежат знания и осмысленный опыт прошлого. Используя их и опираясь на здравый смысл, с поправкой на сегодняшний день, выбирают тот вариант, который принес наибольший успех в аналогичной ситуации в прежнее время. Однако здравый смысл у людей, с точки зрения автора, встречается редко, поэтому данный способ принятия решений гоже не очень надежен, хотя подкупает своей быстротой и дешевизной. При таком подходе ЛПР стремится действовать преимущественно в тех направлениях, которые ему хорошо знакомы, в результате чего рискует упустить хороший результат в другой области, сознательно или бессознательно отказываясь от вторжения в нее;

Выбранный ЛПР критерий стратегии риска: оптимизма, пессимизма или безразличия. Критерий оптимизма (maximax) определяет выбор альтернативы, которая максимизирует максимальный результат для каждой альтернативы; пессимизма (maximin) – альтернативу, которая максимизирует минимальный результат для каждой альтернативы; безразличия – альтернативу с максимальным средним результатом (при этом действует негласное предположение, что каждое из возможных состояний управляемой системы может наступить с равной вероятностью: в результате выбирается альтернатива, дающая максимальную величину математического ожидания).

На стадии реализации эффективность решений определяют следующие факторы:

• уровень развития и состояния управляемой системы, ее техники, технологии, персонала (кадров), организации и экономики. При высоком уровне развития всех компонентов управляемой системы при реализации решения может быть получена бо́льшая эффективность, чем предусмотренная решением, и наоборот, при низком уровне достаточно трудно обеспечить эффективность, определенную в решении;
• социально-психологический климат в реализующем решение коллективе. Основным критерием социально-психологического климата выступает уровень зрелости коллектива, под которым понимается степень совпадения индивидуальных и коллективных интересов. Чем выше уровень зрелости коллектива, тем он более управляем, что является необходимым условием его эффективной деятельности;
• авторитет руководителей, обеспечивающих реализацию решения. Чем выше авторитет руководителей, тем более управляем коллектив и, соответственно, выше уровень эффективности его деятельности;
• действенность механизма управления деятельностью коллектива, которая выражается в сущности управления как создание условий, побуждающих людей к необходимым для достижения целей действиям;
• время реализации решения. Своевременно принятое качественное и эффективное решение при несвоевременной его реализации может оказаться не только неэффективным, а ненужным;
• соответствие численности и квалификации (образования, умения и опыта) кадров объему и сложности работ по реализации решения. При численности кадров меньше необходимой для реализации решения сложно соблюсти ее сроки. При квалификации работников ниже требуемого уровня снижается качество выполнения работ и вместе с этим эффективность реализации решения;
• обеспеченность необходимыми материальными, энергетическими, трудовыми, информационными и денежными ресурсами.

Выше было показано, что эффективность решения определяется на этапах его разработки и реализации. На первом этапе она определяется по известным методикам расчета эффективности проектных решений, на втором – как правило, но методикам расчета фактической прибыли и рентабельности деятельности. В последние годы для определения эффективности стратегических решений на этапах их разработки и реализации часто используется расчет предполагаемого и фактического изменения рыночной стоимости бизнеса, результаты которого являются основой оценки и выбора стратегии организации.

Оценку эффективности управленческих решений на этапах их разработки и принятия можно производить по общеизвестным показателям оценки инвестиционных проектов:

• чистый дисконтированный (приведенный, текущий) доход (ЧДД) – NPV (Net Present Value ) – текущая стоимость денежных притоков (доходов) за вычетом стоимости денежных оттоков (инвестиционных затрат);
• внутренняя норма доходности (ВНД) – IRR (Internal Rate of Return ) – ставка дисконтирования, при которой возникает равенство текущей стоимости прогнозируемых денежных притоков (доходов) и текущей стоимости прогнозируемых инвестиционных затрат (денежных оттоков), т.е. чистый текущий доход (NPV) при этом равен нулю;
• модифицированная внутренняя норма доходности (МВНД) – MIRR (Modified Internal Rate of Return ) – показатель, характеризующий эффективность капиталовложений (инвестиций). Если текущую стоимость всех инвестиционных

вложений рассмотреть как первоначально вложенный капитал, а будущую стоимость всех денежных притоков – как наращенную сумму, то ставкой дисконтирования коэффициента наращения принимается МВНД;

• индекс рентабельности (ИР) – PI (Profitability Index ) – величина чистого (дисконтированного) денежного потока, приходящегося на единицу инвестиционных вложений;
• срок окупаемости – РР (Payback Period ) – ожидаемый период возмещения вложенных средств чистыми денежными поступлениями;
• дисконтированный срок окупаемости – DPP (Discounted Payback Period ) – предполагаемый период возмещения (равенства) текущей стоимости вложенных средств и текущей стоимости чистых денежных поступлений;
• коэффициент эффективности затрат – ARR (Accounting Rate of Return ) равен отношению прогнозной среднегодовой чистой (балансовой) прибыли к среднегодовым инвестиционным затратам.

Эти показатели широко применяются на практике, и методы их расчета признаны традиционными. В многочисленной литературе они подробно описаны, приведены примеры, иллюстрирующие их расчеты для выбора проектов (альтернатив) управленческих решений с различными исходными условиями.

Данные показатели, равно как и соответствующие им методы, используются в двух вариантах:

• для определения эффективности независимых (безальтернативных) управленческих решений (так называемая абсолютная эффективность), когда делается вывод о том, принять его или отклонить;
• для определения эффективности взаимоисключающих друг друга альтернатив решения (сравнительная эффективность), когда делается вывод о том, какую из них принять в качестве управленческого решения.

В оценке эффективности управленческих решений, как и любой другой деятельности, участвуют результаты его реализации (эффект – Эр) и затраты на его разработку, принятие и реализацию (Зр). Эффект управленческих решений проявляется в конечных результатах деятельности организации. Даже в тех случаях, когда управленческое решение направлено на изменения технико-экономических или социально-экономических показателей деятельности организации (уровня состояния и развития техники и технологии производства, номенклатуры и ассортимента продукции, качества исходного сырья, конструктивных характеристик рабочих помещений, социальной инфраструктуры и др.), эффект его реализации отражается в конечном счете в изменении уровня использования ее потенциала и удовлетворения общественных потребностей в ее продукции и услугах, т.е.

Эр = f (П, Ип, Зр, Уп)

при (П – Ип), Зр š min; Уп š max,

где П – потенциал организации; Ип – его использование; Уп – уровень удовлетворения общественных потребностей в ее продукции и услугах.

Данный подход, получивший название "ресурспо-потпенциальный ", к оценке эффективности управления деятельностью организаций, продуктом которого выступают управленческие решения и результаты их реализации, был предложен академиком АН СССР В. А. Трапезниковым, обоснован и развит профессорами Ф. М. Русиновым и В. И. Бусовым.

Развитие организации (ее потенциала, отнесенного к той или иной цели, выраженной в стремлении к максимально возможному удовлетворению определенного вида общественных потребностей) имеет ограничения, определяемые соотношением спроса и предложения на продукты и услуги, которые способна производить данная организация. Превышение результата по той или иной функции предприятия имеющихся в нем потребностей – отрицательный эффект его деятельности или неполезный результат, равносильный отходам и потерям затраченных на него ресурсов.

Вторая составляющая эффективности – затраты ресурсов на разработку, принятие и реализацию управленческого решения. Повышение уровня отдачи этих затрат (их эффективности) – важнейшая задача управления процессом разработки, принятия и реализации управленческих решений. Неправильное понимание этой задачи (особенно в части разработки и принятия решений) часто приводит на практике к сокращению этих затрат даже в ущерб эффективности управленческих решений. Это связано с тем, что основную долю затрат часто составляет заработная плата и начисления на нее и сокращение их сводится к сокращению участвующего в данном процессе персонала или уровня оплаты его труда, в результате чего ухудшаются качество управленческого решения и эффект от его реализации, мотивация персонала. Сокращение затрат на разработку, принятие и реализацию управленческих решений путем простого волюнтаристического решения влечет за собой уменьшение эффективности деятельности организации, связанное с ухудшением контроля, увеличением времени ожидания принятия решения по той или иной ситуации, ухудшением качества подготовки, выработки и принятия решений и с другими факторами, влияющими на уровень потерь ресурсов.

Оценку эффективности реализации управленческих решений можно производить по каждому крупному управленческому решению или по совокупности реализованных в определенный период времени (например, квартал, полугодие, год). Она состоит из системы показателей (рис. 3.5), включающей:

• обобщающий интегральный показатель, конкретизирующий критерий эффективности;
• обобщающие показатели, отражающие эффективность реализации групп целей, для достижения которых принято управленческое решение (научно-технических, экономических, социальных и др.);
• частные показатели, отражающие эффективность использования отдельных видов ресурсов по отдельным стадиям воспроизводственного цикла.

При определении эффективности реализации управленческого решения используется величина не потенциала ресурсов организации вообще, а ее потенциала по выполнению функций, которые охватывает данное решение. Для выявления такого состава можно использовать матрицы, приведенные в табл. 1.2–1.5.

Уровень использования потенциала определяется как разница его величины и потерь. Причем резервная часть потенциала, необходимая для устойчивого функционирования и развития любого подразделения организации, не относится к его потерям.

Рис. 3.3.

Приведенная на рис. 3.5 система показателей отражает структуру "дерева" целей повышения эффективности деятельности организации.

Эффективность управленческого решения определяется как

где Ентц и Энтц, Епц и Эпц, Есц и Эсц, Еэкц и Ээкц – эффективность и эффект управленческого решения в достижении научно-технических, производственных, социальных и экологических целей соответственно; Эi, – эффект реализации управленческого решения в t-м подразделении организации (рабочем месте подразделения); Зр – затраты на разработку и реализацию управленческого решения; п – количество подразделений, участвующих в разработке и реализации данного управленческого решения.

Эффект участия i -го подразделения организации (рабочего места) в разработке и реализации управленческого решения определяется как сумма эффектов изменений уровня использования в процессе, на который направлено данное решение, имеющегося потенциала подразделения (рабочего места) – внутренний эффект (Эв) – и результата реализации целей решения – внешний эффект (Эц), т.е.

Эi = Эв + Эц.

Внутренний эффект определяется по интенсивным (Эи) и экстенсивным факторам (Ээ), т.е.

Эв = Эи + Ээ.

Интенсивные факторы определяют обусловленные реализацией данного управленческого решения изменения производительного использования потенциала, экстенсивные – изменения непроизводительного использования потенциала и потерь ресурсов.

Схема расчета показателей эффективности управления деятельностью предприятия приведена на рис. 3.6.

Так как все ресурсы поступают на рабочие места организации и здесь используются, то уровень использования потенциала ресурсов предприятия определяется процессами на его рабочих местах. Изменение уровня производительного использования ресурсов на рабочем месте определяется разницей использования потенциальной выработки (или производительности труда) на данном рабочем месте до и после реализации данного управленческого решения, т.е.

где и Вп – потенциальная выработка на данном рабочем месте соответственно до и после реализации управленческого решения; , и Вф – фактическая выработка на данном рабочем месте соответственно до и после реализации управленческого решения.

Фактическая выработка (или производительность труда) в каком-либо производственном подразделении (заготовительном, механическом, литейном, сборочном и т.д.) определяется без особых трудностей по общепринятым методикам оценки.

Рис. 3.6.

Потенциальная и фактическая выработка на рабочем месте составляют основу определения потенциальной и фактической выработки по подразделению, функции или виду деятельности подразделения. На объем выработки на рабочем месте влияют: производительность оборудования при данной технологии работ, выполняемых на данном рабочем месте; соответствие квалификации работника уровню сложности работ; своевременность обеспечения рабочего места необходимыми материалами, инструментом, оргоснасткой, информацией и другими ресурсами; соответствие количества и качества исходных ресурсов требованиям технологии; ритмичность деятельности работника на рабочем месте. Эти факторы снижают фактическую выработку по сравнению с потенциальной.

Потенциальная выработка рабочего места (Вп(рм)) определяется объемом выработки установленного на нем оборудования при максимальном числе часов сто работы в данном периоде с учетом времени на переналадку, ремонт, наладку, т.е. по формуле

Βп(рм) = (Фр – t н) П n ,

где Фр – режимный фонд времени работы одного агрегата (строительного крана, бульдозера, бетономешалки, циклевочной машины и т.д.) на рабочем месте в месяц; t н – нормативное время на наладку и ремонт, переналадку одного агрегата; П – режимный (технологический) съем продукции с единицы оборудования (агрегата) в единицу времени; п – количество однотипных агрегатов на рабочем месте при многостаночном обслуживании.

Для рабочих мест с маломеханизированным и ручным трудом, в том числе инженерных и управленческих работников, потенциальная выработка рассчитывается по максимальной сменной выработке месяца, исходя из того, что максимальная выработка в данную смену была достигнута за счет наибольшего использования возможностей ресурсов, составляющих данное рабочее место, т.е.

Вп(рм) = Вс.max т р,

где Вс.max – максимальная сменная выработка на рабочем месте в расчетном месяце, нормо-часы; m – количество смен в расчетном месяце; р – стоимость 1 нормо-часа, руб.

Исходные данные для расчета берутся из карт учета выработки и заработной платы, которые должны заполняться в подразделениях предприятия.

Аналогичный подход можно применить для любого рабочего места, но для механизированных и автоматизированных рабочих мест Вп следует рассчитывать по производительности оборудования.

Зная потенциальный объем выработки в месяц по всем рабочим местам подразделения, можно определить потенциальный объем выработки данного подразделения. Он рассчитывается по технологической цепочке рабочих мест, образуемой системой машин, участвующих в производстве данного вида продукта, или определяемой последовательностью выполнения закрепленных за рабочими местами технологических операций производства данного вида результата деятельности подразделения.

Экстенсивное использование экономического потенциала по внутреннему эффекту процессов системы управления предприятием выражают потери и технологически необоснованные отходы ресурсов. Изменение их величины после реализации управленческого решения () по сравнению с базовым (Пр) отражает изменение внутреннего эффекта управления по экстенсивным факторам, т.е.

.

Участвующие в процессах ресурсы используются производительно и непроизводительно.

Производительное использование ресурсов также подразделяют на две части. Первая часть – это расход ресурсов, рассчитанный исходя из удельных затрат, которые признаны рациональными (технологически необходимыми). Вторая часть – это расходы ресурсов, превышающие рациональные удельные затраты. Такие затраты представляют собой потери ресурсов.

Непроизводительное использование ресурсов наблюдается в случае, когда продукция и услуги не создаются. Например, к непроизводительному использованию ресурсов относятся затраты рабочего времени работников, затраты производственной мощности оборудования и материалов на исправление брака, к потерям – прогулы, целодневные и целосменные простои, неиспользованные мощности установленного оборудования, неисправимый брак, неиспользуемые научно-технические разработки, порча материалов на складе и др.

Эффект реализации управленческого решения по достижению производственных целей определяется увеличением объема и качества продукции и услуг, соблюдением сроков их предоставления потребителю и выражается в изменении эффективности их применения у потребителей; научно-технических целей – в эффективности применения разработок предприятия в инновационных процессах; социальных целей – в экономии времени (увеличении свободного времени) и повышении общественной активности работников предприятия и потребителей продукции и услуг предприятия; экологических целей – в уменьшении отходов и увеличении объемов их утилизации, благоустройстве территории и т.д. Эффект по социальным результатам особенно важен для предприятий, производящих различные услуги населению (коммунальные, транспортные, бытовые, почтовые, общественного питания, торговли и т.д.). Эффект по экологическим результатам – для предприятий топливной, нефтехимической и химической промышленности.

Затраты на разработку и реализацию управленческого решения включают всю совокупность затрат на выполнение работ как собственными силами, так и сторонними организациями (подрядчиками), а также на приобретение необходимых материалов, оборудования и других необходимых ресурсов.

Вышеизложенный подход применим только в условиях наличия в организации необходимых исходных данных, обеспечиваемых организованной системой контроля и учета параметров процессов на рабочих местах и в подразделениях, мониторинга потребностей и потребления продукции и услуг компании.

В странах с развитой экономикой давно является хрестоматийным стоимостный подход в управлении организациями и, соответственно, в оценке эффективности управленческих решений.

Справка. На американском рынке капитала стоимостная концепция является широко распространенной на практике и единственно принимаемой в научной литературе. В мае 2010 г. компания KPMG в сотрудничестве с Государственным университетом – Высшей школой экономики (ГУ-ВШЭ) провели исследование применения российскими компаниями методов управления на основе стоимости. Оно показало высокую актуальность стоимостного управления для российских компаний в сложившейся рыночной ситуации и интерес для менеджеров, так как рост стоимости бизнеса обусловливает повышение инвестиционной привлекательности и конкурентоспособности организации.

Основная идея концепции управления стоимостью заключается в том, что главной финансовой целью организации выступает рост ее ценности (стоимости) не только для собственников (акционеров), но и для всех заинтересованных в деятельности компании юридических и физических лиц (управление стоимостью компании в интересах стейкхолдеров). Понятие "стоимость" в данной концепции управления представляет собой внутреннюю категорию, характеризующую ценность, инвестиционную привлекательность компании для собственников, и выражается в денежном индикаторе будущих возможностей роста.

Прирост стоимости – это экономический критерий, отражающий интегральный эффект влияния реализуемых в организации управленческих решений на все параметры, по которым оценивается ее деятельность (доля рынка и прочность конкурентной позиции, доходы, инвестиционные потребности, операционная эффективность, налоговое бремя, регулирование, потоки денежных средств и уровень риска), позволяющий ранжировать варианты в ситуации множественного выбора.

В системе управления стоимостью изначально заложена предпосылка, что командно-административный стиль принятия управленческих решений "сверху вниз" не приносит должных результатов, особенно в крупных многопрофильных корпорациях. Менеджерам низшего звена нужно научиться использовать стоимостные показатели для принятия более качественных и эффективных управленческих решений. Управление стоимостью требует разумного равновесия долгосрочных и краткосрочных целей деятельности. Оно, по сути, представляет собой разработку, принятие и реализацию управленческих решений, обеспечивающих непрерывную реорганизацию, направленную на достижение максимальной стоимости бизнеса.

Важным достоинством стоимостного подхода в управлении является тот факт, что он предлагает менеджменту единый и понятный критерий оценки деятельности – стоимость. Параметр прироста стоимости бизнеса является ключевым инструментом повышения качества и эффективности управленческих решений, позволяющим создать универсальную систему координат для определения вектора развития бизнеса, а также создать единую шкалу изменения достигнутых результатов в соответствии с установленной стратегией.

Процесс управления рыночной стоимостью компании использует в качестве базы доходный подход к оценке компании (бизнеса). В рамках данного подхода стоимость компании представляет собой сумму денежных потоков, которые будут созданы компанией, скорректированных с учетом факторов времени и соответствующих рисков, за вычетом всех обязательств компании.

Оценка эффективности управленческого решения данным методом предполагает сравнение двух сценариев развития организации "без разработки и реализации управленческого решения данной ситуации-проблемы" и "при условии разработки и реализации управленческого решения данной ситуации-проблемы".

Оценка стоимости организации в первом варианте сводится к прогнозу денежных потоков по предприятию в целом при условии, что ничего в нем в расчетном периоде принципиально меняться не будет. Это – дисконтированная стоимость бизнеса, которая определяется путем дисконтирования денежного потока по ставке, учитывающей имеющиеся риски организации в целом:

где PV 0 – дисконтированная стоимость организации при ее развитии без решения имеющихся ситуаций-проблем; CF 0i – ожидаемый денежный поток в периоде г; r – ставка дисконта; п – количество периодов, в течение которых организация будет генерировать денежные потоки (в годах).

Стоимость организации при сценарии реализации управленческого решения (стратегическая стоимость) определяется путем дисконтирования скорректированного на проект денежного потока по скорректированной ставке, учитывающей как риск организации в целом, так и риски управленческого решения. Она будет равна остаточной текущей стоимости ожидаемых потоков организации при условии осуществления управленческого решения, т.е. денежные потоки организации по двум сценариям ее развития совмещаются:

где PV C – стратегическая стоимость организации; CF c – стратегический денежный поток организации; CF pi – денежный поток, создаваемый реализацией управленческого решения.

Применение метода рынка капитала и сделок для оценки прироста стоимости предприятия за счет реализации управленческого решения основывается на информации о компании-аналоге, реализующей аналогичное решение. При этом аналогичность решений определяется следующими факторами:

• максимальная схожесть решаемых ситуаций в сопоставляемых организациях;
• общая отраслевая (функциональная) принадлежность сопоставляемых ситуаций;
• использование сходных ресурсов;
• сопоставимость масштаба ситуаций и радикальности изменений в результате реализации управленческого решения.

Для определения прироста стоимости, созданной в результате реализации управленческого решения, методом рынка капитала используются рыночные коэффициенты компании-аналога до и после реализации ею решения аналогичной ситуации, т.е.

где ΔCV – увеличение рыночной стоимости оцениваемой компании вследствие реализации управленческого решения; Е ок – текущая прибыль оцениваемой компании; – отношение "цена/прибыль" для аналогичной компании после реализациирешения аналогичной ситуации; – отношение "цена/прибыль" для аналогичной компании до реализации решения аналогичной ситуации.

Метод сделок отличается от метода рынка капитала тем, что коэффициент "цена/прибыль" по компании-аналогу (компаниям-аналогам) рассчитывают, принимая во внимание лишь цены на акции компании-аналога (компаний-аналогов), которые наблюдались в ближайшем прошлом по фактическим сделкам купли-продажи крупных пакетов или при соответствующей котировке акций. При этом крупными пакетами считаются те, покупка которых дает возможность приобрести как минимум участие в контроле над компанией посредством введения в ее совет директоров своего представителя (или самого себя), что позволяет контролировать менеджмент компании. Отсюда, найти компанию-аналог, реализующую управленческое решение по аналогичной ситуации, информация по которой имеется в открытом доступе, – задача крайне сложная и порой просто неосуществимая. На практике это значительно затрудняет или делает невозможным применение методов рынка капитала и сделок для оценки эффективности управленческих решений.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Кравчук Алина Сергеевна

Студентка 4 курса, кафедра экономической кибернетики ВНАУ. г. Винница

Черняк Наталия Ивановна

научный руководитель, к.т.н., доцент ВНАУ, г. Винница

Введение. На современном этапе развития рыночных отношений, при сложных экономических и информационных связях между субъектами хозяйствования, в процессе управления предприятием возникают проблемы, зависящие от значительного количества внешних и внутренних факторов, быстро изменяющиеся во времени и разнонаправлено влияющие на эффективность функционирования предприятия. В таких условиях при разработке и принятии управленческих решений необходимо учитывать условия неопределенности, анализировать их, использовать соответствующие модели и методы принятия решений.

Анализ последних исследований и публикаций. Проблемы разработки и принятия управленческих решений в условиях неопределенности рассмотрены в работах таких отечественных и зарубежных ученых, как Р. Акофф, И.О. Бланк, В.В. Витлинский, В. Г. Вовк, А. К. Камалян, Ю. Г. Лысенко, М. Мескон, Д. О. Новиков, В. С. Пономаренко, О. И. Пушкарь, Т. Саати, Г.Саймон, Э. А. Трахтенгерц, Р. А. Фатхутдинов, Дж. Форрестер и др.

Целью исседования является изучение модели принятия решений в условиях неопределенности, базирующейся на теоретико-игровой концепции с применением классических критериев оценки альтернатив из множества возможных вариантов.

Основные результаты исследования. Неопределенность - фундаментальная характеристика недостаточной обеспеченности процесса принятия экономических решений знаниями относительно определенной проблемной ситуации. Неопределенность можно трактовать и детализировать как недостоверность, неоднозначность .

Для обоснования решений в условиях неопределенности, когда вероятности возможных вариантов обстановки неизвестны, разработаны специальные математические методы, которые рассматриваются в теории игр. Теория игр исследует взаимодействие индивидуальных решений при некоторых предположениях относительно принятия решений в условиях риска, общих условий окружающей среды, кооперативного или некооперативного поведения других индивидов. Целью теории игр есть предвидение результатов стратегических, оперативных игр, когда участники не имеют полной информации о намерениях друг друга .

Пусть информационная ситуация характеризуется множеством

Где – множество решений (альтернатив) объекта управления,

– множество состояний неопределенной экономической среды,

– функционал оценивания (матрица оценивания), определенный на и и тот, который .

Качество принимаемого решения, а также методика его принятия, зависят от степени информированности субъекта управления. Под информационной ситуацией с точки зрения субъекта управления подразумевают определенную степень градации неопределенности выбора средой своих состояний в момент принятия решения .

Рассмотрим классификатор информационных ситуаций, связанных с неопределенностью среды:

И 1 – первая информационная ситуация характеризуется заданным распределением априорных вероятностей на элементах множества состояний среды;

И 2 – вторая информационная ситуация характеризуется заданным распределением вероятностей с неизвестными параметрами или факторами среды (достаточная по объему информация, выдвинута гипотеза относительно класса функций, которому принадлежит функция плотности распределения вероятности и на основе имеющейся информации необходимо оценить параметры, которые характеризуют этот класс функций);

И 3 – третья информационная ситуация характеризуется заданной системой линейных или нелинейных соотношений на элементах априорного распределения состояний среды.

В пределах первой – третьей информационных ситуаций в условиях неопределенности среды и риска при осуществлении процесса принятия эффективных решений используют критерии Байєса, модульный, минимальной дисперсии, Гермейера, максимакса .

И 4 – четвертая информационная ситуация характеризуется неизвестным распределением вероятностей на элементах (параметрах, факторах и т.п.) множества состояний среды. В такой ситуации целесообразно использование критериев Джейнса, Лапласа;

И 5 – пятая информационная ситуация характеризуется антагонистическими интересами среды, в процессе принятия решений оценку альтернатив осуществляют за критериями Вальда, Севиджа;

И 6 – шестая информационная ситуация характеризуется как промежуточная между И 1 и И 5 при выборе среды своих состояний в процессе принятия решений за критериями Гурвица, Ходжа-Лемана.

Приведенные информационные ситуации являются глобальными характеристиками степени неопределенности состояний с точки зрения субъекта управления .

Пусть функционал имеет положительный ингредиент (задача оптимизации категорий полезности, выигрыша, прибыльности, вероятности достижения определенной стратегии), т.е.

, (1)

И пусть для отрицательного ингредиента (оптимизации расходов, ущерба, риска), т.е.

, (2)

Функция риска при осуществлении определенной стратегии определяется как линейное преобразование положительно или отрицательно заданного ингредиента функционала V к относительным единицам измерения составляющих функционала V .

Так, для и определенной информационной ситуации, а также для зафиксированного состояния среды , величина риска равна:

,

Для соответственно

Таким образом, риск определяется как разность решения при наличии точных данных состояния среды и результата, который может быть достигнутым, когда данные состояния среды не определенные.

Определение альтернатив осуществляется при условиях, например, информационных ситуаций І 1 – І 6 соответственно по критериям:

(критерий Вальда); (3)

Критерий Вальда выражает позицию крайней осторожности. Это свойство разрешает считать данный критерий одним из фундаментальных.

(критерий Севиджа); (4)

Критерий Севиджа довольно часто используется в практической деятельности при принятии управленческих решений на продолжительный период: например, при распределении капитальных вложений.

(критерий Лапласа); (5)

Критерий Лапласа используется при условии, когда вероятности возможных состояний систем неизвестны, т.е. в условиях полной неопределенности.

(критерий максимакса); (6)

С помощью критерия максимакса определяется стратегия, которая максимизирует максимальные выигрыши для каждой информационной ситуации.

(критерий Гермейєра); (7)

Критерий Гермейера является критерием крайнего пессимизма с учетом вероятности состояний внешней среды.

Переменные определяют объемы ресурсов в значении прибыли , или расходов , следовательно, зная цену за единицу ресурсов, которые предлагаются к расходам, можно рассчитывать объемы прибыли или потерь от осуществления той или другой стратегии относительно оптимальных альтернатив.

Если эксперты не могут (или имеют сомнения) определить состояние внутренней среды ресурсов в определенный период их использования к условиям поведения внешней среды за информационными ситуациями И 1 – И 6 , то проводится оценивание альтернатив за всеми критериями . Определение оптимальной альтернативы в этом случае осуществляется так называемым методом голосования, сущность которого состоит в выборе той альтернативы, за которую проголосовало наибольшее количество экспертов.

Выводы. Неопределенность – это непреодолимое качество рыночной среды, обусловленное влиянием большого количества разных по природе и направленности факторов, которые в совокупности невозможно оценить или измерить. При формировании управленческого решения в условиях неопределенности использования одного из приведенных критериев недостаточно для рационального выбора решения, так как может привести к к значительным потерям экономического, социального и иного содержания. Необходимо учитывать фактор времени, объединять критерии между собой и проводить анализ критериев на уже известных ситуациях для проверки достоверности полученных результатов. Целесообразно также же объединять применение данных критериев с методом экспертных оценок.

Список литературы:

1. Арефьева А. А. Модели принятия экономико-организационных решений повышения эффективности использования производственного потенциала и критерии целесообразности его применение / А. А. Ареф"єва, В. М. Михайленко, О. Л. Горяча // Проблемы информационных технологий. – 2007. – № 1. – С. 14-23.

2. Витлинский В. В.Экономический риск: игровые модели: Учебн. пособие / В. В. Витлинский, П. И. Верченко, А. В. Сигал, Я. С. Наконечный; За ред. д-ра экон. наук, проф. В. В. Витлинского. – К.: КНЭУ, 2002. – 446 с.

3. Клименко С. М., Дуброва О. С.Обоснование хозяйственных решений и оценка рисков: Учебн.-метод. пособ. для самост. изуч. дисц. – К.: КНЭУ, 2006. – 188 с.

4. Левикин В. М. Влияние информационных технологий на реинжиниринг бизнес-процессов предприятия / В. М. Левикин, М. Г. Капустин // Новые технологии. – 2005. – № 3 (9). – С. 73.

5. Петров Э. Г. Управление функционированием и развитием социально-экономических систем в условиях неопределенности / Э. Г. Петров, Н. А. Соколова, Д. И. Филипская // Вестник Херсонского национального технического университета. – 2007. – Вып. 27. – С. 156–159.

Реферат

Математические методы в принятии решений

Математика как наука с самого зарождения является инструментом в процессе поиска истины, и потому можно считать, что любые математические операции, даже самые простые, являются математическими методами принятия решений. В настоящее время под принятием решений понимается особый процесс человеческой деятельности, направленный на выбор наилучшего варианта (альтернативы) действий. Процессы принятия решения лежат в основе любой целенаправленной деятельности человека. Например, при создании новой техники (машин, приборов, устройств), в строительстве при проектировании новых зданий, при организации функционирования и развития социальных процессов. В связи с этим появляется потребность в руководстве по принятию решений, которые упрощали бы этот процесс и придавали решениям большую надежность. Помимо эмпирического восприятия ситуации и интуиции в наше время сложных экономических ситуаций и процессов управления предприятием руководителям требуется некоторая основа и «доказанная гарантия» принимаемого решения. Неизбежно требуется формализация процесса принятия решений. Как правило, важные решения принимаются опытными людьми, довольно далекими от математики, и особенно от ее новых методов, и опасающимися больше потерять от формализации, чем выиграть.

Следовательно, от науки требуются рекомендации по оптимальному принятию решений. Прошло то время, когда правильные решения принимались «на ощупь», методом «проб и ошибок». Сегодня для выработки такого решения требуется научный подход - слишком велики потери, связанные с ошибками. Оптимальные решения позволяют обеспечить предприятию максимально выгодные условия выпуска продукции (максимальная прибыль при минимальных трудовых затратах, материальных и трудовых ресурсах).

В настоящее время поиск оптимальных решений можно рассматривать при помощи разделов классической математики. Так, например, в математической статистике в разделе «принятие решений» изучают способы принятия или не принятия некоторой основной гипотезы при наличии конкурирующей гипотезы с учетом функции потерь. Теория принятия решений развивает методы математической статистики - методы проверки гипотез. Различные величины потерь при выборе разных гипотез приводят к результатам, отличным от тех, которые получены методами статистической проверки гипотез. Выбор менее вероятной гипотезы может оказаться более предпочтительным, если потери в случае ошибочности такого выбора окажутся меньше потерь, вызванных ошибочностью выбора более вероятной конкурирующей гипотезы. Такие задачи называют статистическими задачами принятия решений. Для решения этих задач необходимо найти минимальное значение функции риска на множестве возможных исходов, т.е. решить задачу отыскания условного экстремума. Как правило, для этих задач можно выделить цель и указать условия, т.е. ограничения, при которых они должны быть решены. Подобными задачами занимаются в разделе математики «математическое программирование», который, в свою очередь, является частью раздела «исследование операций».

В роли входных данных выступает реальная задача - произвольным образом сформулированный набор данных о проблемной ситуации. Первым этапом решения задачи является ее формулировка - приведение данных к удобному для построения модели виду. Модель - приближенное (описательное) отображение действительности. Далее по построенной модели осуществляется поиск оптимальных решений и выдача рекомендаций.

Модели можно разбить на 2 большие группы:

Детерминированные модели:

Линейное программирование;

Целочисленное программирование и комбинаторика;

Теория графов;

Потоки в сетях;

Геометрическое программирование;

Нелинейное программирование;

Математическое программирование;

Оптимальное управление.

Стохастические модели:

Теория массового обслуживания;

Теория полезности;

Теория принятия решений;

Теория игр и игровое моделирование;

Теория поиска;

Имитационное моделирование;

Динамическое моделирование.

В принятии решений необходимо найти оптимум некоторого функционала в детерминированной или стохастической форме. Следует отметить две особенности. Во-первых, математические методы принятия решений для задач, связанных с различными направлениями деятельности человека, начинают взаимное проникновение друг в друга, например, оптимизационные задачи управления при переходе от непрерывных переменных к дискретным становятся задачами математического (линейного) программирования, оценка разделяющей функции

в статистических методах принятия решений может проводиться с помощью процедур линейного или квадратичного программирования и т.д. Во-вторых, исходные числовые данные как результат измерений или наблюдений

в задачах принятия решений для реальных ситуаций не являются детерминированными, а чаще являются случайными величинами

с известными или неизвестными законами распределения, поэтому последующая обработка данных требует применения методов математической статистики, теории нечетких множеств или теории возможностей.

Математические методы в экономике и принятии решений можно разделить на несколько групп:

Методы оптимизации.

Методы, учитывающие неопределенность, прежде всего, вероятностно-статистические.

Методы построения и анализа имитационных моделей,

Методы анализа конфликтных ситуаций (теория игр).

Методы оптимизации

Оптимизация в математике - операция нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области векторного пространства, ограниченного набором линейных или нелинейных равенств (неравенств).

Теорию и методы решения задачи оптимизации изучает математическое программирование.

Математическое программирование - это область математики, разрабатывающая теорию, численные методы решения многомерных задач с ограничениями. В отличие от классической математики, математическое программирование занимается математическими методами решения задач нахождения наилучших вариантов из всех возможных.

Постановка задачи оптимизации

В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчётом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом. Среди элементов χ, образующих множества Χ, найти такой элемент χ*, который обеспечивает минимальное значение f (χ*) заданной функции f(χ). Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации, необходимо задать:

Допустимое множество - множество

решение математика игра

2. Целевую функцию - отображение ;

Критерий поиска (max или min).

Тогда решить задачу означает одно из:

Показать, что .

Показать, что целевая функция не ограничена снизу.

Если , то найти:

Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек таких, что всюду в некоторой их окрестности для минимума и для максимума.

Если допустимое множество , то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае - задачей условной оптимизации.

Классификация методов оптимизации

Общая запись задач оптимизации задаёт большое разнообразие их классов. От класса задачи зависит подбор метода (эффективность её решения). Классификацию задач определяют: целевая функция и допустимая область (задаётся системой неравенств и равенств или более сложным алгоритмом).

Методы оптимизации классифицируют в соответствии с задачами оптимизации:

1. Локальные методы:

сходятся к какому-нибудь локальному экстремуму целевой функции. В случае унимодальной целевой функции, этот экстремум единственен, и будет глобальным максимумом / минимумом.

Глобальные методы:

имеют дело с многоэкстремальными целевыми функциями. При глобальном поиске основной задачей является выявление тенденций глобального поведения целевой функции.

Существующие в настоящее время методы поиска можно разбить на три большие группы:

1. детерминированные;

Случайные (стохастические);

Комбинированные.

По критерию размерности допустимого множества, методы оптимизации делят на методы одномерной оптимизации и методы многомерной оптимизации.

По виду целевой функции и допустимого множества, задачи оптимизации и методы их решения можно разделить на следующие классы:

Задачи оптимизации, в которых целевая функция и ограничения являются линейными функциями , разрешаются так называемыми методами линейного программирования.

В противном случае имеют дело с задачей нелинейного программирования и применяют соответствующие методы. В свою очередь из них выделяют две частные задачи:

если и - выпуклые функции, то такую задачу называют задачей выпуклого программирования;

если , то имеют дело с задачей целочисленного (дискретного) программирования.

· прямые методы, требующие только вычислений целевой функции в точках приближений;

· методы первого порядка: требуют вычисления первых частных производных функции;

· методы второго порядка: требуют вычисления вторых частных производных, то есть гессиана целевой функции.

Помимо того, оптимизационные методы делятся на следующие группы:

Аналитические методы (например, метод множителей Лагранжа и условия Каруша-Куна-Таккера);

Численные методы;

Графические методы.

В зависимости от природы множества X задачи математического программирования классифицируются как:

· задачи дискретного программирования (или комбинаторной оптимизации) - если X конечно или счётно;

· задачи целочисленного программирования - если X является подмножеством множества целых чисел;

· задачи нелинейного программирования, если ограничения или целевая функция содержат нелинейные функции и X является подмножеством конечномерного векторного пространства.

Если же все ограничения и целевая функция содержат лишь линейные функции, то это - задача линейного программирования.

Кроме того, разделами математического программирования являются параметрическое программирование, динамическое программирование и стохастическое программирование.

Математическое программирование используется при решении оптимизационных задач исследования операций.

Способ нахождения экстремума полностью определяется классом задачи. Но перед тем, как получить математическую модель, нужно выполнить 4 этапа моделирования:

Определение границ системы оптимизации

Отбрасываем те связи объекта оптимизации с внешним миром, которые не могут сильно повлиять на результат оптимизации, а, точнее, те, без которых решение упрощается

Выбор управляемых переменных

«Замораживаем» значения некоторых переменных (неуправляемые переменные). Другие оставляем принимать любые значения из области допустимых решений (управляемые переменные)

Определение ограничений на управляемые переменные (равенства и / или неравенства).

Выбор числового критерия оптимизации (например, показателя эффективности)

Создаём целевую функцию.

Вероятностно-статистические методы

Суть вероятностно-статистических методов принятия решений

Как подходы, идеи и результаты теории вероятностей и математической статистики используются при принятии решений?

Базой является вероятностная модель реального явления или процесса, т.е. математическая модель, в которой объективные соотношения выражены в терминах теории вероятностей. Вероятности используются прежде всего для описания неопределенностей, которые необходимо учитывать при принятии решений. Имеются в виду как нежелательные возможности (риски), так и привлекательные («счастливый случай»). Иногда случайность вносится в ситуацию сознательно, например, при жеребьевке, случайном отборе единиц для контроля, проведении лотерей или опросов потребителей.

Теория вероятностей позволяет по одним вероятностям рассчитать другие, интересующие исследователя. Например, по вероятности выпадения герба можно рассчитать вероятность того, что при 10 бросаниях монет выпадет не менее 3 гербов. Подобный расчет опирается на вероятностную модель, согласно которой бросания монет описываются схемой независимых испытаний, кроме того, выпадения герба и решетки равновозможны, а потому вероятность каждого из этих событий равна Ѕ. Более сложной является модель, в которой вместо бросания монеты рассматривается проверка качества единицы продукции. Соответствующая вероятностная модель опирается на предположение о том, что контроль качества различных единиц продукции описывается схемой независимых испытаний. В отличие от модели с бросанием монет необходимо ввести новый параметр - вероятность Р того, что единица продукции является дефектной. Модель будет полностью описана, если принять, что все единицы продукции имеют одинаковую вероятность оказаться дефектными. Если последнее предположение неверно, то число параметров модели возрастает. Например, можно принять, что каждая единица продукции имеет свою вероятность оказаться дефектной.

Обсудим модель контроля качества с общей для всех единиц продукции вероятностью дефектности Р. Чтобы при анализе модели «дойти до числа», необходимо заменить Р на некоторое конкретное значение. Для этого необходимо выйти из рамок вероятностной модели и обратиться к данным, полученным при контроле качества. Математическая статистика решает обратную задачу по отношению к теории вероятностей. Ее цель - на основе результатов наблюдений (измерений, анализов, испытаний, опытов) получить выводы о вероятностях, лежащих в основе вероятностной модели. Например, на основе частоты появления дефектных изделий при контроле можно сделать выводы о вероятности дефектности (см. теорему Бернулли выше). На основе неравенства Чебышева делались выводы о соответствии частоты появления дефектных изделий гипотезе о том, что вероятность дефектности принимает определенное значение.

Таким образом, применение математической статистики опирается на вероятностную модель явления или процесса. Используются два параллельных ряда понятий - относящиеся к теории (вероятностной модели) и относящиеся к практике (выборке результатов наблюдений). Например, теоретической вероятности соответствует частота, найденная по выборке. Математическому ожиданию (теоретический ряд) соответствует выборочное среднее арифметическое (практический ряд). Как правило, выборочные характеристики являются оценками теоретических. При этом величины, относящиеся к теоретическому ряду, «находятся в головах исследователей», относятся к миру идей (по древнегреческому философу Платону), недоступны для непосредственного измерения. Исследователи располагают лишь выборочными данными, с помощью которых они стараются установить интересующие их свойства теоретической вероятностной модели.

Зачем же нужна вероятностная модель? Дело в том, что только с ее помощью можно перенести свойства, установленные по результатам анализа конкретной выборки, на другие выборки, а также на всю так называемую генеральную совокупность. Термин «генеральная совокупность» используется, когда речь идет о большой, но конечной совокупности изучаемых единиц. Например, о совокупности всех жителей России или совокупности всех потребителей растворимого кофе в Москве. Цель маркетинговых или социологических опросов состоит в том, чтобы утверждения, полученные по выборке из сотен или тысяч человек, перенести на генеральные совокупности в несколько миллионов человек. При контроле качества в роли генеральной совокупности выступает партия продукции.

Чтобы перенести выводы с выборки на более обширную совокупность, необходимы те или иные предположения о связи выборочных характеристик с характеристиками этой более обширной совокупности. Эти предположения основаны на соответствующей вероятностной модели.

Конечно, можно обрабатывать выборочные данные, не используя ту или иную вероятностную модель. Например, можно рассчитывать выборочное среднее арифметическое, подсчитывать частоту выполнения тех или иных условий и т.п. Однако результаты расчетов будут относиться только к конкретной выборке, перенос полученных с их помощью выводов на какую-либо иную совокупность некорректен. Иногда подобную деятельность называют «анализ данных». По сравнению с вероятностно-статистическими методами анализ данных имеет ограниченную познавательную ценность.

Итак, использование вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью выборочных характеристик - вот суть вероятностно-статистических методов принятия решений.

Подчеркнем, что логика использования выборочных характеристик для принятия решений на основе теоретических моделей предполагает одновременное использование двух параллельных рядов понятий, один из которых соответствует вероятностным моделям, а второй - выборочным данным. К сожалению, в ряде литературных источников, обычно устаревших либо написанных в рецептурном духе, не делается различия между выборочными и теоретическими характеристиками, что приводит читателей к недоумениям и ошибкам при практическом использовании статистических методов.

Применение конкретного вероятностно-статистического метода состоит из трёх этапов:

Переход от экономической, управленческой, технологической реальности к абстрактной математико-статистической схеме, то есть построение вероятностной модели системы управления, технологического процесса, процедуры принятия решений, в частности по результатам статистического контроля, и тому подобного.

Проведение расчётов и получение выводов чисто математическими средствами в рамках вероятностной модели.

Толкование математико-статистических выводов применительно к реальной ситуации и принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции установленным требованиям, необходимости наладки технологического процесса), в частности, заключения (о доле дефектных единиц продукции в партии, о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и подобном).

Математическая статистика применяет понятия, методы и результаты теории вероятностей. Далее рассматриваем основные вопросы построения вероятностных моделей в разнообразных случаях. Подчеркнём, что для активного и правильного использования нормативно-технических и инструктивно-методических документов по вероятностно-статистическим методам нужны предварительные знания. Так, необходимо знать, при каких условиях следует применять тот или иной документ, какие исходные данные нужны для его выбора и применения, какие решения должны быть приняты по результатам обработки данных, и так далее.

Рассмотрим несколько примеров, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим средством решения задач.

В романе Алексея Николаевича Толстого «Хождение по мукам» (том 1) говорится: «мастерская даёт двадцать три процента брака, этой цифры вы и держи́тесь, - сказал Струков Ивану Ильичу». Как понимать эти слова в разговоре руководителей завода? Eдиница продукции не может быть дефектна на 23%. Она может быть либо годной, либо дефектной. Наверноe, Струков мыслил, что в партии большого объёма содержится примерно 23% дефектных единиц продукции. Тогда возникает вопрос: а что значит «примерно»? Пусть из 100 проверенных единиц продукции 30 окажутся дефектными, или из 1000 - 300, или из 100 000 - 30 000… Надо ли обвинять Струкова во лжи?

Монетка, используемая как жребий, должна быть «симметричной»: в среднем в половине случаев подбрасывания должен выпадать орёл, а в половине случаев - решка. Но что означает «в среднем»? Если провести много серий по 10 бросаний в каждой серии, то часто будут встречаться серии, в которых монетка 4 раза выпадает орлом. Для симметричной монеты это будет происходить в 20,5% серий. А если на 100 000 бросаний окажется 40 000 орлов, то можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решений строится на основе теории вероятностей и математической статистики.

Пример может показаться несерьёзным. Это не так. Жеребьёвка широко используется при организации промышленных технико-экономических экспериментов. Например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) подшипников в зависимости от различных технологических факторов (влияния консервационной среды, методов подготовки подшипников перед измерением, влияния нагрузки подшипников в процессе измерения и тому подобных). Допустим, нужно сравнить качество подшипников в зависимости от результатов хранения их в разных консервационных маслах. При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло одного состава, а какие - в другое, но так, чтобы избежать субъективизма и обеспечить объективность принимаемого решения. Ответ может быть получен с помощью жребия.

Аналогичный пример можно привести и с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует или не соответствует контролируемая партия продукции установленным требованиям, из неё выбирается представительная часть: по этой выборке судят о всей партии. Поэтому желательно, чтобы каждая единица в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть выбранной. В производственных условиях выбор единиц продукции обычно делают не жребием, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел.

Похожие проблемы обеспечения объективности сравнения возникают при сопоставлении различных схем организации производства, оплаты труда, при проведении тендеров и конкурсов, подбора кандидатов на вакантные должности. Всюду нужна жеребьёвка или подобные ей меры.

Пусть надо выявить наиболее сильную и вторую по силе команду при организации турнира по олимпийской системе (проигравший выбывает). Допустим, что более сильная команда всегда побеждает более слабую. Ясно, что самая сильная команда однозначно станет чемпионом. Вторая по силе команда выйдет в финал только когда до финала у неё не будет игр с будущим чемпионом. Если такая игра запланирована, то вторая по силе команда в финал не попадёт. Тот, кто планирует турнир, может либо досрочно «выбить» вторую по силе команду из турнира, сведя её в первой же встрече с лидером, либо обеспечить ей второе место, обеспечив встречи с более слабыми командами вплоть до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводят жеребьёвку. Для турнира из 8 команд вероятность того, что в финале встретятся две самые сильные команды, равна 4 из 7. Соответственно с вероятностью 3 из 7 вторая по силе команда покинет турнир досрочно.

При любом измерении единиц продукции (с помощью штангенциркуля, микрометра, амперметра…) имеются погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо многократно измерить единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической погрешности присутствует и случайная погрешность.

Встаёт вопрос, как по измерениям выявить систематическую погрешность. Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении погрешность положительной или отрицательной, то эту задачу можно свести к уже́ рассмотренной. Действительно, сопоставим измерение с бросанием монеты: положительную погрешность - с выпадением орла, отрицательную - решки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается). Тогда проверка отсутствия систематической погрешности эквивалентна проверке симметричности монеты.

Итак, задача проверки на систематическую погрешность сведена к задаче проверки симметричности монеты. Проведённые рассуждения приводят к так называемому «критерию знаков» в математической статистике.

При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приёмочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определённому числу , например, .

Теория игр

Теория игр - математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором каждая из сторон-участников (две или более) ведут борьбу за свои интересы. Каждая сторона преследует свои цели и пользуется некоторой стратегией, которая может в свою очередь привести к выигрышу или проигрышу (результат зависит от других игроков. Теория игр предоставляет возможность выбора наилучшей стратегии с учетом представлений о других игроках, их возможностях и возможных поступках.

Теория игр - это раздел прикладной математики, точнее - исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках - социологии, политологии, психологии, этике, юриспруденции и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.

Оптимальные решения или стратегии в математическом моделировании предлагались ещё в XVIII в. Задачи производства и ценообразования в условиях олигополии, которые стали позже хрестоматийными примерами теории игр, рассматривались в XIX в. А. Курно и Ж. Бертраном. В начале XX в. Э. Ласкер, Э. Цермело, Э. Борель выдвигают идею математической теории конфликта интересов.

Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (англ. Theory of Games and Economic Behavior).

Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу о судьбе Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры разума». Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe», «Alias» или «NUMBЕRS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.

Дж. Нэш в 1949 году пишет диссертацию по теории игр, через 45 лет он получает Нобелевскую премию по экономике. Дж. Нэш после окончания Политехнического института Карнеги с двумя дипломами - бакалавра и магистра - поступил в Принстонский университет, где посещал лекции Джона фон Неймана. В своих трудах Дж. Нэш разработал принципы «управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу», или «некооперативное равновесие», в ситуации стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого равновесия. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Эти работы Дж. Нэша сделали серьёзный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. Дж. Нэш показывает, что классический подход к конкуренции А. Смита, когда каждый сам за себя, неоптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других.

Хотя теория игр первоначально и рассматривала экономические модели, вплоть до 1950-х она оставалась формальной теорией в рамках математики. Но уже с 1950-х гг. начинаются попытки применить методы теории игр не только в экономике, но в биологии, кибернетике, технике, антропологии. Во время Второй мировой войны и сразу после неё теорией игр серьёзно заинтересовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений.

В 1960-1970 гг. интерес к теории игр угасает, несмотря на значительные математические результаты, полученные к тому времени. С середины 1980-х гг. начинается активное практическое использование теории игр, особенно в экономике и менеджменте. За последние 20 - 30 лет значение теории игр и интерес значительно растет, некоторые направления современной экономической теории невозможно изложить без применения теории игр.

Большим вкладом в применение теории игр стала работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». Т. Шеллинг рассматривает различные «стратегии» поведения участников конфликта. Эти стратегии совпадают с тактиками управления конфликтами и принципами анализа конфликтов в конфликтологии (это психологическая дисциплина) и в управлении конфликтами в организации (теория менеджмента). В психологии и других науках используют слово «игра» в других смыслах, нежели чем в математике. Некоторые психологи и математики скептически относятся к использованию этого термина в других смыслах, сложившихся ранее. Культурологическое понятие игры было дано в работе Йохана Хёйзинга «Homo Ludens» (статьи по истории культуры), автор говорит об использовании игр в правосудии, культуре, этике, о том, что игра старше самого человека, так как животные тоже играют. Понятие игры встречается в концепции Эрика Бёрна «Игры, в которые играют люди, люди, которые играют в игры». Это сугубо психологические игры, основанные на трансакционном анализе. Понятие игры у Й. Хёзинга отличается от интерпретации игры в теории конфликтов и математической теории игр. Игры также используются для обучения в бизнес-кейсах, семинарах Г.П. Щедровицкого, основоположника организационно-деятельностного подхода. Во время Перестройки в СССР Г.П. Щедровицкий провел множество игр с советскими управленцами. По психологическому накалу ОДИ (организационно-деятельностные игры) были так сильны, что служили мощным катализатором изменений в СССР. Сейчас в России сложилось целое движение ОДИ. Критики отмечают искусственную уникальность ОДИ. Основой ОДИ стал Московский методологический кружок (ММК).

Математическая теория игр сейчас бурно развивается, рассматриваются динамические игры. Однако математический аппарат теории игр затратен. Его применяют для оправданных задач: политика, экономика монополий и распределения рыночной власти и т.п. Ряд известных ученых стали Нобелевскими лауреатами по экономике за вклад в развитие теории игр, которая описывает социально-экономические процессы. Дж. Нэш, благодаря своим исследованиям в теории игр, стал одним из ведущих специалистов в области ведения «холодной войны», что подтверждает масштабность задач, которыми занимается теория игр.

Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр и экономической теории стали: Роберт Ауман, Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Уильям Викри, Джеймс Миррлис, Томас Шеллинг, Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц, Леонид Гурвиц, Эрик Мэскин, Роджер Майерсон, Ллойд Шепли, Элвин Рот, Жан Тироль.

Представление игр

Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму. Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации:

1. Наличие нескольких участников;

2. Неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий;

Различие (несовпадение) интересов участников;

Взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников;

Наличие правил поведения, известных всем участникам.

Экстенсивная форма

Игра «Ультиматум » в экстенсивной форме

Игры в экстенсивной, или расширенной, форме представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной.

На рисунке слева - игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает - выбрать стратегию A или R. Скорее всего первый игрок выберет U, а второй - A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.

Экстенсивная форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами. Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.

Нормальная форма игры

В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей. Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы - это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы - второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки. В примере справа, если игрок 1 выбирает первую стратегию, а второй игрок - вторую стратегию, то на пересечении мы видим (−1, −1), это значит, что в результате хода оба игрока потеряли по одному очку.

Игроки выбирали стратегии с максимальным для себя результатом, но проиграли, из-за незнания хода другого игрока. Обычно в нормальной форме представляются игры, в которых ходы делаются одновременно, или хотя бы полагается, что все игроки не знают о том, что делают другие участники. Такие игры с неполной информацией будут рассмотрены ниже.

Характеристическая функция

В кооперативных играх с трансферабельной полезностью, то есть возможностью передачи средств от одного игрока к другому, невозможно применять понятие индивидуальных платежей. Вместо этого используют так называемую характеристическую функцию, определяющую выигрыш каждой коалиции игроков. При этом предполагается, что выигрыш пустой коалиции равен нулю.

Основания такого подхода можно найти ещё в книге фон Неймана и Моргенштерна. Изучая нормальную форму для коалиционных игр, они рассудили, что если в игре с двумя сторонами образуется коалиция C, то против неё выступает коалиция N\C. Образуется как бы игра для двух игроков. Но так как вариантов возможных коалиций много (а именно 2N, где N - количество игроков), то выигрыш для C будет некоторой характеристической величиной, зависящей от состава коалиции. Формально игра в такой форме (также называемая TU-игрой) представляется парой (N, v), где N - множество всех игроков, а v: 2N → R - это характеристическая функция.

Подобная форма представления может быть применена для всех игр, в том числе без трансферабельной полезности. В настоящее время существуют способы перевести любую игру из нормальной формы в характеристическую, но преобразование в обратную сторону возможно не во всех случаях.

Применение теории игр

Теория игр, как один из подходов в прикладной математике, применяется для изучения поведения человека и животных в различных ситуациях. Первоначально теория игр начала развиваться в рамках экономической науки, позволив понять и объяснить поведение экономических агентов в различных ситуациях. Позднее область применения теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии. Теоретико-игровой анализ был впервые использован для описания поведения животных Рональдом Фишером в 30-х годах XX века (хотя даже Чарльз Дарвин использовал идеи теории игр без формального обоснования). В работе Рональда Фишера не появляется термин «теория игр». Тем не менее, работа по существу выполнена в русле теоретико-игрового анализа. Разработки, сделанные в экономике, были применены Джоном Майнардом Смитом в книге «Эволюция и теория игр». Теория игр используется не только для предсказания и объяснения поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий этичного или эталонного поведения. Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания хорошего (достойного) поведения. Вообще говоря, первые теоретико-игровые аргументы, объясняющие правильное поведения, высказывались ещё Платоном.

Описание и моделирование

Первоначально теория игр использовалась для описания и моделирования поведения человеческих популяций. Некоторые исследователи считают, что с помощью определения равновесия в соответствующих играх они могут предсказать поведение человеческих популяций в ситуации реальной конфронтации. Такой подход к теории игр в последнее время подвергается критике по нескольким причинам. Во-первых, предположения, используемые при моделировании, зачастую нарушаются в реальной жизни. Исследователи могут предполагать, что игроки выбирают поведения, максимизирующее их суммарную выгоду (модель экономического человека), однако на практике человеческое поведение часто не соответствует этой предпосылке. Существует множество объяснений этого феномена - нерациональность, моделирование обсуждения, и даже различные мотивы игроков (включая альтруизм). Авторы теоретико-игровых моделей возражают на это, говоря, что их предположения аналогичны подобным предположениям в физике. Поэтому даже если их предположения не всегда выполняются, теория игр может использовать как разумная идеальная модель, по аналогии с такими же моделями в физике. Однако, на теорию игр обрушился новый вал критики, когда в результате экспериментов было выявлено, что люди не следуют равновесным стратегиям на практике. Например, в играх «Сороконожка», «Диктатор» участники часто не используют профиль стратегий, составляющий равновесие по Нэшу. Продолжаются споры о значении подобных экспериментов. Согласно другой точке зрения, равновесие по Нэшу не является предсказанием ожидаемого поведения, оно лишь объясняет, почему популяции, уже находящиеся в равновесии по Нэшу, остаются в этом состоянии. Однако вопрос о том, как эти популяции приходят к равновесию Нэша, остается открытым. Некоторые исследователи в поисках ответа на этот вопрос переключились на изучение эволюционной теории игр. Модели эволюционной теории игр предполагают ограниченную рациональность или нерациональность игроков. Несмотря на название, эволюционная теория игр занимается не только и не столько вопросами естественного отбора биологических видов. Этот раздел теории игр изучает модели биологической и культурной эволюции, а также модели процесса обучения.

Нормативный анализ (выявление наилучшего поведения)

С другой стороны, многие исследователи рассматривают теорию игр не как инструмент предсказания поведения, но как инструмент анализа ситуаций с целью выявления наилучшего поведения для рационального игрока. Поскольку равновесие Нэша включает стратегии, являющиеся наилучшим откликом на поведение другого игрока, использование концепции равновесия Нэша для выбора поведения выглядит вполне обоснованным. Однако, и такое использование теоретико-игровых моделей подверглось критике. Во-первых, в некоторых случаях игроку выгодно выбрать стратегию, не входящую в равновесие, если он ожидает, что другие игроки также не будут следовать равновесным стратегиям. Во-вторых, знаменитая игра «Дилемма заключенного» позволяет привести ещё один контрпример. В «Дилемме заключенного» следование личным интересам приводит к тому, что оба игрока оказываются в худшей ситуации в сравнении с той, в которой они пожертвовали бы личными интересами.

Кооперативные и некооперативные

Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, взяв на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.

Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.

Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить два подхода дали немалые результаты. Так называемая программа Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр.

Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.

Симметричные и несимметричные

Несимметричная игра

Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков - симметричные. В частности, таковыми являются: «Дилемма заключённого», «Охота на оленя», «Ястребы и голуби». В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум» или «Диктатор».

В примере справа игра на первый взгляд может показаться симметричной из-за похожих стратегий, но это не так - ведь выигрыш второго игрока при профилях стратегий (А, А) и (Б, Б) будет больше, чем у первого.

С нулевой суммой и с ненулевой суммой

Игры с нулевой суммой - особая разновидность игр с постоянной суммой, то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. Посмотрите направо - числа означают платежи игрокам - и их сумма в каждой клетке равна нулю. Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника; либо банальное воровство.

Многие изучаемые математиками игры, в том числе уже упоминавшаяся «Дилемма заключённого», иного рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме - это делается введением фиктивного игрока, который «присваивает себе» излишек или восполняет недостаток средств.

Ещё игрой с отличной от нуля суммой является торговля, где каждый участник извлекает выгоду. Широко известным примером, где она уменьшается, является война.

Параллельные и последовательные

В параллельных играх игроки ходят одновременно, или, по крайней мере, они не осведомлены о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. В последовательных, или динамических, играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем полной, например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других.

Различия в представлении параллельных и последовательных игр рассматривались выше. Первые обычно представляют в нормальной форме, а вторые - в экстенсивной.

С полной или неполной информацией

Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры. Полная информация не доступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство изучаемых в математике игр - с неполной информацией. Например, вся «соль» «Дилеммы заключённого» или «Сравнения монеток» заключается в их неполноте.

В то же время есть интересные примеры игр с полной информацией: «Ультиматум», «Многоножка». Сюда же относятся шахматы, шашки, го, манкала и другие.

Часто понятие полной информации путают с похожим - совершенной информации. Для последнего достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно.

Игры с бесконечным числом шагов

Игры в реальном мире или изучаемые в экономике игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов.

Задача, которая обычно ставится в этом случае, состоит не в поиске оптимального решения, а в поиске хотя бы выигрышной стратегии. Используя аксиому выбора, можно доказать, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами - «выиграл» или «проиграл» - ни один из игроков не имеет такой стратегии. Существование выигрышных стратегий для некоторых особенным образом сконструированных игр имеет важную роль в дескриптивной теории множеств.

Дискретные и непрерывные игры

Большинство изучаемых игр дискретны: в них конечное число игроков, ходов, событий, исходов и т.п. Однако эти составляющие могут быть расширены на множество вещественных чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно - шкалой времени), хотя происходящие в них события могут быть дискретными по природе. Дифференциальные игры также рассматриваются в теории оптимизации, находят своё применение в технике и технологиях, физике.

Метаигры

Методы построения и анализа имитационных моделей (имитационное моделирование).

Имитационное моделирование (ситуационное моделирование) - метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

Имитационное моделирование - это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему, с которой проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация - это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).

Имитационное моделирование - это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае аналитическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью.

Имитационным моделированием иногда называют получение частных численных решений сформулированной задачи на основе аналитических решений или с помощью численных методов.

Имитационная модель - логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.

Применение имитационного моделирования.

К имитационному моделированию прибегают, когда:

· дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;

· невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;

· необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами или другими словами - разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов.

Виды имитационного моделирования

Три подхода имитационного моделирования

Подходы имитационного моделирования на шкале абстракции

· Агентное моделирование - относительно новое (1990-2000 гг.) направление в имитационном моделировании, которое используется для исследования децентрализованных систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами (как в других парадигмах моделирования), а наоборот, когда эти глобальные правила и законы являются результатом индивидуальной активности членов группы. Цель агентных моделей - получить представление об этих глобальных правилах, общем поведении системы, исходя из предположений об индивидуальном, частном поведении её отдельных активных объектов и взаимодействии этих объектов в системе. Агент - некая сущность, обладающая активностью, автономным поведением, может принимать решения в соответствии с некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также самостоятельно изменяться.

· Дискретно-событийное моделирование - подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы, такие, как: «ожидание», «обработка заказа», «движение с грузом», «разгрузка» и другие. Дискретно-событийное моделирование наиболее развито и имеет огромную сферу приложений - от логистики и систем массового обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот вид моделирования наиболее подходит для моделирования производственных процессов. Основан Джеффри Гордоном в 1960-х годах.

· Системная динамика - парадигма моделирования, где для исследуемой системы строятся графические диаграммы причинных связей и глобальных влияний одних параметров на другие во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель имитируется на компьютере. По сути, такой вид моделирования более всех других парадигм помогает понять суть происходящего выявления причинно-следственных связей между объектами и явлениями. С помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции, экологии и развития эпидемии. Метод основан Джеем Форрестером в 1950 годах.

Области применения

· Бизнес-процессы

· Бизнес-симуляция

· Боевые действия

· Динамика населения

· Дорожное движение

· ИТ-инфраструктура

· Математическое моделирование исторических процессов

· Логистика

· Пешеходная динамика

· Производство

· Рынок и конкуренция

· Сервисные центры

· Цепочки поставок

· Уличное движение

· Управление проектами

· Экономика здравоохранения

· Экосистема

· Информационная безопасность

· Релейная защита

Заключение

Из вышеперечисленных методов наибольшее применение получили вероятностно-статистические и теория игр. Вероятностно-статистические методы по сравнению с другими наиболее доступен и дешев для использования и установки базы программного обеспечения. Так, применительно для прогнозов (например, регрессионного анализа) и оптимизации возможно использовать стандартный пакет программы Microsoft Office Excel.

Теория игр значительно более дорогой метод, меньше изучен с точки зрения научной основы и требует высококвалифицированных кадров. Однако, в областях особой значимости (политика, мировые финансовые компании, ТНК) оправдан и необходим.

Использованная литература

1. А.А. Грешилов, Математические методы принятия решений, 2-е издание, исправленное и дополненное, Москва, 2014

2. Мазалов В.В. Математическая теория игр и приложения. - Санкт-Петербург - Москва - Краснодар: Лань, 2010.

Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979.

4. Орлов А.И. Прикладная статистика. Учебник, 2009

5. Орлов А.И. Эконометрика. Учебник для вузов. Изд. 3-е, исправленное и дополненное. - М.: Изд-во «Экзамен», 2004.

6. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. - М.: Мир, 1985.

Жиглявский А.А., Жилинкас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. - М.: Наука, Физматлит, 1991.

Кини Р.Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. - М.: Радио и связь, 1981

Бодров В.И., Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Математические методы принятия решений. Учебное пособие. - Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2004

Петросян Л.А. Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Книжный дом «Университет», 1998.